Принцип двойственности

15 Янв 2014 | Автор: | Комментариев нет »

1. Сущность принципа двойственности и его развитие в 20 веке

Суть принципа двойственности заключается в том, что из одного верного высказывания путем замены входящих в него понятий на так называемые двойственные понятия можно получить другое, также верное высказывание.

Этот философский принцип, сформулированный французским ученым Понселе, находит свое применение во многих областях высшей математики (теория множеств, математическая логика, проективная геометрия и др.). Теснее всего принцип двойственности примыкает к проективной геометрии и теории полюсов и поляр.

Открытие принципа двойственности облегчило изучение разделов геометрии. Так как при одновременном рассмотрении двойственных понятий изложение стало более ясным и экономным, то стали появляться попытки перенести этот принцип в элементарную геометрию и даже построить на нем школьный курс.

В ХХ веке одним из признанных проводников идеи двойственности был известный математик Уайтхед. Уайтхед - крупный математик и оригинальный философ сосредоточил свое внимание на динамическом описании реальности как процесса. В результате оказывается возможным избежать понятия "субстанция-качество". Это морфологическое описание заменяется описанием динамического процесса. "Каждое действительное явление проявляет себя как процесс; - оно есть становление". Уайтхед выделяет два вида становления: сращение и переход .

Первый вид становления (сращение) внутренне присуще процессу конституирования отдельно существующего. Второй вид становления (переход) - это становление, благодаря которому прекращение процесса в случае формирования отдельно существующего конституирует это существующее как изначальный элемент конституирования других отдельно существующих, которые выявляются при повторении процесса. Сращение направлено к своей конечной причине, представляющей его субъективную цель; переход же является механизмом действующей причины, которое есть бессмертное прошлое.

У Богданова сохранение системы "есть результат подвижного равновесия системы с ее средой, т.е. образуется двумя потоками активности - ассимиляцией, поглощением активности извне, и дезассимиляцией, разусвоением активностей, их потерею, переходом во внешнюю среду; это означает два ряда непрерывных и параллельных процесса прогрессивного подбора: положительного и отрицательного. В каком направлении они регулируют развитие? Очевидно, в сторону наиболее устойчивых соотношений, ибо менее устойчивые отрицательным подбором должны постепенно отметаться, а более устойчивые - положительно закрепляться. Теперь можно видеть, что положительный подбор ведет к первому типу становления, который продолжает разворачивать цепь все новых и новых сущностей - цепь живого многое из которого тут же погибает, в иных случаях лишь обозначая возможность своего рождения. Отрицательный подбор связан со становлением второго типа - переходом и закрепляет рожденное сущее в системе постоянно воспроизводящегося мира и в этом смысле действительно является переходом постоянно рождающегося и умирающего живого к бессмертному неживому, формирующему прошлое.

По поводу существования двух видов становления Уайтхед делает проницательные замечания, - "имплицитное понимание двух видов становления было неосознанно присуще Юму. Кант едва не сделал его эксплицитным. Это понимание было утеряно в эволюционном монизме Гегеля и гегельянских школ".

2. Двойственность - примеры из специальных наук.

Математика. Простейшим примером проявления двойственности в математике является хорошо известное из школьного курса существования прямой и обратной теорем. Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, условием которой служит заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы. Легко заметить, что если исходить из второй теоремы, названной нами обратной и считать ее прямой теоремой, то теорема названная прямой, окажется обратной. Поэтому часто говорят не о прямой и обратной теориях, а о двух взаимно обратных теоремах. Взаимно обратные или двойственные друг другу теоремы, истинность которых доказана, играют очень большую роль в математических исследованиях. Для изучения каких-либо объектов часто очень важно знать не только свойства данного объекта, но и то, какие из этих свойств можно принять за основные свойства, вполне определяющие данный объект. Эти свойства объектов (геометрических фигур, множеств) выделяются посредством доказательства обратных теорем. Таким образом, наличие двойственности позволяет выделить некую сущность объекта (основное свойство, инвариант)-факт, наиболее важный для понимания ценности двойственных утверждений.

В проективной геометрии двойственными являются точка и проходящая через нее прямая; в этом случае говорят о точке инцидентной прямой и о прямой инцидентной точке. Прямые, плоскости, объемы и так далее (собственные элементы пространства) в проективной геометрии замкнуты на бесконечности так называемыми несобственными элементами - соответственно бесконечно удаленной точкой, бесконечно удаленной прямой, бесконечно удаленной плоскостью и т.д. В основе проективной геометрии лежит полное равноправие собственных и несобственных элементов. Двойственной отрезку прямой является та часть прямой, которая дополняет отрезок до полной проективной прямой, замкнутой на бесконечности. Аналогично, ограниченной окружностью частью плоскости двойственна вся внешняя часть плоскости, дополняющая круг до полной проективной плоскости. Принцип двойственности в проективной геометрии утверждает, что если верно какое-либо предложение, касающееся точек, прямых плоскостей и отношений инцидентности между ними, то верно и так называемое двойственное предложение, получаемое из данного, если поменять слова "прямая" и "точка" (для проективного пространства слова "плоскость" и "точка").

Примером двойственности является задача линейного программирования. Прямая задача заключается в нахождении максимума целевой функции внутри выпуклого многогранника, расположенного в n-мерном пространстве. Многогранник задается линейной формой с "n"- ограничениями, наложенными на m-мерный вектор-аргумент целевой функции. Обратная или двойственная задача-нахождение минимума обратного функционала снаружи на поверхности многогранника, в пространстве m-мерной размерности. При этом компоненты "прямого" вектора преобразуется по соответствующим правилам обращение матриц в коэффициенты-ограничения для обратной задачи.

Физика. Интересный пример двойственности представляет рассмотрение закона тяготения. Ньютоновская формулировка закона говорит, что сила тяготения зависит от масс тел, находящихся на конечном расстоянии. Она обладает свойством нелокальности или дальнодействия (Фейнман, 1968). Сила, действующая на предмет, зависит от того, насколько удален от него другой предмет по закону обратного квадрата расстояния. С другой стороны существует иная трактовка закона тяготения, основанная на понятии поля. Если теория дальнодействия оперирует понятием силы, которая является вектором, то в полевом описании каждой точке пространства приписывается число-потенциал, который является уже не векторной, а скалярной величиной. При переходе от точки к точке это число меняется, а сила, действующая на тело, действует в направлении быстрейшего изменения потенциала. В отличие от дальнодействия потенциал в центре сколь угодно малой сферы определяется тем, каков потенциал по соседству с интересующей нас точкой и какова масса, заключенная внутри сферы. Эта формулировка локальна во времени и в пространстве, потому что она говорит о соседних точках. Она является двойственной формой описания обычной ньютоновской формулировки, которая во времени непрерывна, а в пространстве дискретна.

В электродинамике примером двойственных соотношений являются фундаментальные уравнения Максвелла, описывающие распространение электромагнитных волн в пространстве. В случае отсутствия токов и зарядов уравнения приобретают наиболее симметричную форму: одна пара уравнений получается из другой простой заменой вектора напряженности электрического поля Е на вектор магнитной индукции B. Наличие токов и зарядов усложняет картину, но двойственность по-прежнему проявляется, приобретая теперь уже иной облик, связанный с различной симметрией векторов Е и В. Отсутствие магнитных зарядов приводит к тому, что вектор В в отличие от вектора Е всегда имеет вихревую природу, будучи порожденным благодаря изменению токов и электрической напряженности. Геометрически величина вектора такого типа определяется элементом плоскости, в отличие от вектора напряженности электрического поля, которому можно сопоставить направленный отрезок. В этом случае говорят соответственно о контрвариантном и ковариантном векторах, законы преобразования которых при изменении координат взаимно обратны. Таким образом, физическая взаимообусловленность векторов Е и В имеет под собой глубокий двойственный геометрический смысл, аналогичный инцидентности прямой и плоскости.

В физике широко используются понятия интенсивных и экстенсивных величин. Первые отвечают на вопрос "как сильно?"; последние - "как много?". Первые имеют характер силы, вторые являются количествами действия первых. Говорят также соответственно об обобщенных силах и обобщенных скоростях или потоках.

В случае электрических явлений, например, напряжение является своеобразным действием, т.е. интенсивной величиной (обобщенной силой), тогда как сила тока есть количество, т.е. экстенсивная величина (поток заряда). В 1931 году Ларс Онзагер обнаружил, что в равновесных системах между обобщенными силами и потоками существуют замечательные соотношения взаимности (Пригожин, 1986) . Для слабо неравновесных электрических явлений справедливо следующее: если сила "один" (например, градиент потенциала электрического поля( воздействует на поток "два" (поток заряда), то сила "два" (градиент распределения зарядов) воздействует на поток "один" (поток электрического поля). Причем это происходит таким образом, что эти воздействия направлены в противоположную сторону и стремятся вернуть систему к равновесию ( в данном примере это проявление самоиндукции). Нетрудно видеть, что соотношение взаимности есть не что иное как проявление двойственности, причем на более высоком структурном уровне. Что здесь понимается под усложнением структуры отношений обобщенных сил и потоков? Во-первых удвоение пары отношений "сила-скорость" и появление четверки понятий (две обобщенных силы и две обобщенных скорости): во-вторых их взаимопереплетение ( причина "один" становится следствием "два" и наоборот) и, наконец, динамический характер переноса энергии, вещества, информации, указывающий на изменение, развитие системы, стремление ее к определенному состоянию.

При всем многообразии проявлений двойственности самым поразительным и в то же время фундаментальным свойством материи является дуализм вещества и волн. Известно, что свет проявляет себя при одних условиях как ньютоновская частица, а при других как волна. То же самое справедливо для электрона, протона и любой материальной системы. В зависимости от вопроса, который мы задаем микрочастице, она поворачивается к нам то своей волновой, то корпускулярной природой. То обстоятельство, что на эксперименте никогда не возникает логического противоречия между обоими представлениями обеспечивается соотношением неопределенности Гайзенберга, утверждающего, что невозможно одновременно локализовать положение частицы вместе с точным знанием ее импульса. Мерой определенности одновременного обнаружения частицы и измерения ее импульса является планковский квант действия (AxA~h, где h - постоянная Планка) (Фейнман, 1967).

Химия. Химические реакции стремятся протекать в направлении уменьшения свободной энергии. Напомним, что свободная энергия-это понятие, указывающее на максимальную величину работы, которую можно получить в результате той или иной химической реакции, при условии теплового контакта с окружающим внешним миром. Можно провести механическую аналогию между поведением системы из двух грузов и химической реакцией (Эткинс, 1987). Так тяжелый груз, падая ( двигаясь в "естественном" направлении) может поднимать более легкий груз (если грузы, скажем, соединены между собой нитью, перекинутой через блок), вызывая его движение в "противоестественной направлении ( против сил тяжести). Реакция подобна грузу, но "падающему" в направлении снижения не потенциальной, а свободной энергии. Химическая реакция, более глубоко опускающаяся по шкале свободной энергии может вызвать протекание связанной с ней реакции в противоположном направлении (такие реакции в биохимии называют сопряженными.

Развивая механическую аналогию, Эткинс предложил наглядную картину живой системы. Живые организмы и клетки можно уподобить чрезвычайно сложной системе зацепляющихся друг за друга шестеренок. Если в какой-то части организма "тяжелый груз" падает по шкале свободной энергии, то в другой ее части "легкий груз" за этот счет может подняться вверх по этой шкале, но на меньшую величину. Механизм такой биохимической "зубчатой передачи", разумеется весьма деликатен и сложен. Хотя организм в целом, движется по пути деградации, т.е. по пути понижения свободной энергии, эти процессы столь сложны и взаимосвязаны, что попутно рождаются все тончайшие явления, соответствующие жизни и сознанию. Именно поэтому нам необходимо питаться: мы усваиваем вещества, находящиеся достаточно высоко по шкале свободной энергии, а затем в организме они начинают распадаться, вызывая вращение внутренних "шестеренок" организма.

Биология. Фундаментальным примером двойственности является кодирование генетической информации. Наследственную информацию, содержащуюся в ДНК и РНК, кодируют вообще-то два класса азотистых оснований-пирины и пирамидины (Инге-Вечтомов,1983). Они образуются из пяти видов нуклеотидов: тимин, аденин, гуанин, цитозин, урацил. Четыре первых кодируют ДНК, четыре последних РНК. Два пуриновых основания-аденин и гуанин составляют инвариантную часть обоих соединений, ДНК и РНК. Именно наличие этих двух общих оснований, входящих по одному в качестве "особых" элементов в кодирующую четверку (остальные три являются пиримидинами) позволяет осуществлять процесс репликации. Двойная спираль стабилизируется с помощью водородных связей между пуринами одной цепи ДНК и пиримидинами другой. В результате образования строго определенных пар аденин-тимин, гуанин-цитозин, последовательность оснований одной цепи однозначно определяет ее последовательность в другой - иными словами цепи двойной спирали ДНК комплиментарны.

Открытие двойственной структуры ДНК сыграло в развитии биологии такую же роль как и физика открытие атомного ядра, привело к появлению молекулярной биологии, а в последние годы генной инженерии.

Двуликий Янус биологии - структура и функция. По мнению Гамалея развитие структур детерминировано генетически, реализация функций экологически. Генетически наследуемые структуры выполняют в эволюционном развитии стабилизирующую роль, закрепляя пройденный путь, а экологически зависимые функции - раскачивающую, обеспечивающую поиск направления движения сегодня. Путем участия обоих регуляторных механизмов достигается совмещение направленной (прогрессивной) и адаптивной составляющих эволюции в точке перехода прошлого в будущее. Влияние структуры на функционирование понятно; ей задан диапазон подвижности, амплитуда функциональных колебаний; влияние функциональных колебаний на изменение структуры менее видно, ее механизм - постепенное накопление ничтожно малых сдвигов. Эти изменения хотя и очень малы, но необратимо накапливаются. Биологическое время изменяется структурами как вехами пройденного пути. По функциональным признакам воссоздания структуры практически невозможно.

Вертикальная детерминированность структурного развития и горизонтальная - функционального дают основания поставить задачу поиска модели, отражающей четырехмерные отношение текущей экологии и эволюции. С ее помощью можно, видимо, описать перекрест времени и пространства в биологической системе координат. Структура отражает пройденный путь, функциональный трепет- выбор направления движения, поиск следующего шага. Экологическая подвижность функций в диапазоне заданном структурным исполином прошлого, дает некоторое основание предположить вибрационную модель функционального поиска продолжения эволюционного пути в условиях определенной экологии.

Диалектическая логика. Гегель показал, что все подлинные понятия, которыми пользуется разум, обязательно содержат внутри себя категориальные пары. Совершив этот шаг, он получил возможность сделать то, что не мог сделать ни один логик по профессии до него: он дал первую классификацию логических форм, указывая на их отличие от грамматических форм.

Известно, что суждение представляется в виде "субъекта" и "предиката", соединенных связкой "есть". Если субъект есть нечто единичное, а предикат нечто всеобщее, то мы имеем дело с логической формой сужения. Так, грамматические предложения типа: "Иван есть человек", "Жучка есть собака" представляют собой суждения. Логической основой для выделения логической формы суждения является простой факт, что связка "есть" связывает "категориальную пару" или "диаду".

Наивная уверенность старой формальной логики состояла в том, что суждения делятся на два класса: на истинные и на ложные. Здравый смысл будет возражать, если кто-то будет утверждать, что "единичное есть всеобщее" или что "причина есть следствие". Какое же из двух суждений антиномии следует считать истинным? Ответ будет краток: никакое. Гегель показал, что форма суждения не является той логической формой, в которой вообще выражается истина. Логической формой истины является по Гегелю "умозаключение". В ее состав входят логические формы суждения, а логической форме суждения (диаде) предшествует и входит в нее логическая форма понятия.

Логическая форма понятия сама состоит из двух различных логических форм: пары единичное - особенное, единичное - всеобщее, особенное - всеобщее образуют "диады", а их целостность, своеобразная независимость от логической формы диады требует своего названия - "триады". Эти две логические формы, еще не различавшиеся Гегелем на правах логических форм лежат в основании математики. Их выделение стало возможным тогда, когда Н. Бурбаки в анализе основных математических структур сумели выделить две качественно различные математические структуры. Их намечавшиеся названия примерно соответствуют "закону композиции" и "отношению порядка". Их философское содержание, которое лежит за рамками математики и принадлежат к логическим формам, обозначается логической формой диады и логической формой триады.

Лингвистика. Простым и наглядным примером двойственности является письменный язык. Когда Вы читаете эти строки мозг считывает информацию, содержащуюся в знаках - буквах, расположенных по определенным правилам в двумерном пространстве, - на листе бумаги. Отношение порядка задается направлением считывания букв - справа налево (хотя существуют языки, где направление противоположно, например, - иврит) или направлено по вертикали - пример, - иероглифы). Кроме того, дополнительные отношения порядка определяются морфологией-правилами образования слов из букв. Таким образом, образуется каркас ("скелетная форма"), и теперь дело за композиционным отношением - грамматикой - сводом правил, в соответствии с которыми из отдельных слов и знаков препинания образуются предложения, несущие информацию. Полученная система обладает большой гибкостью и способностью к приспособлению; ведь после любого написанного текста у нас есть многозначный выбор формулировок, с которыми его можно продолжить. Но эти возможности не безграничны, существует еще одна глобальная двойственная система, которая формируется всем окружением каждой фразы - это контекст. И без нарушения внутренней логики содержания невозможно перейти к изложению чего-либо, иначе, речь будет в каждой части морфологически и грамматически неправильна, потеряет связность. Потеряв это свойство речь становится бессвязной, не характерной для здорового человека. Итак, с видимым текстом на этой странице (материальными знаками, исполненными в краске, написанными на плоскости бумаги) связан невидимый, двойственный текст (контекст), который невозможно увидеть физически. Этот "двойственный" текст заключен в тех же материальных структурах, что и прямой текст, но прочитать его можно только "погрузив" прямой текст в мыслительный аппарат человека. Этот аппарат должен быть достаточно развит, чтобы принять эту конструкцию, - например ребенок, который учится читать, складывать слова из букв, в течении определенного времени, пока мозг не натренируется, не способен воспринимать контекст.

Список литературы

1. Аруцев В. Концепции современного естествознания. – М.: Владос, 2008.

2. Белов В. И. Энциклопедия здоровья. – М.: Медицина, 2009.

3. Горелов А.А. Концепции современного естествознания. – М.: Академия, 2011.

4. Канке В.А. Концепции современного естествознания. – М.: Владос, 2003.

5. Концепции современного естествознания / Под ред. М.С.Кунафина. – Уфа, 2003.

6. Концепции современного естествознания / Под ред. Найдыш В.М. – М.: Владос, 2009.

7. Концепции современного естествознания / Под ред. С.И.Самыгина. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2012.

8. Кузнецов Б. Г. Развитие физических идей от Галилея до Эйнштейна в свете современной науки. – СПб.: Петрополис, 1991.

9. Рябенко В.И. История естествознания. Курс лекций. – Магнитогорск, 2002.

10. Синявская В.И. Современная медицина. – М.. 2012.

11. Фолта Я., Новак Л. История естествознания в датах. - М.: Просвещение, 1987.

Контрольная работа по КСЕ на тему «Принцип двойственности» (МаГУ, Магнитогорск)

Вы можете заказать оригинальную авторскую работу на эту и любую другую тему.

(14.2 KiB, 46 downloads)

Здесь вы можете написать комментарий

* Обязательные для заполнения поля
Все отзывы проходят модерацию.
Навигация
Связаться с нами
Наши контакты

vadimmax1976@mail.ru

8-908-07-32-118

8-902-89-18-220

О сайте

Magref.ru - один из немногих образовательных сайтов рунета, поставивший перед собой цель не только продавать, но делиться информацией. Мы готовы к активному сотрудничеству!