Понятие и классификация ряда динамики

6 Июн 2014 | Автор: | Комментариев нет »

Содержание

Введение.......................................................................................................... 3

1. Понятие и сущность рядов динамики........................................................ 4

2. Классификация рядов динамики.............................................................. 10

3. Методы выделения тренда и циклов........................................................ 12

Заключение.................................................................................................... 20

Список литературы....................................................................................... 21

Введение

 

Одно из основных положений научной методологии - необходимость изучать все явления в развитии, во времени. Это относится и к статистике: она должна дать характеристику изменений статистических показателей во времени. Как изменяются год за годом валовой национальный продукт и национальный доход страны? Как возрастает или снижается уровень оплаты труда? Велики ли колебания урожайности зерновых культур и существует ли тенденция ее роста? Ответ на аналогичные вопросы может дать только специальная система статистических методов, предназначенная для изучения развития изменений во времени, или, как принято в статистике говорить, изучения динамики.

Построение и анализ рядов динамики позволяют выявить и измерить закономерности развития общественных явлений во времени. Эти закономерности не проявляются четко на каждом конкретном уровне, а лишь в тенденции, в достаточно длительной динамике. На основную закономерность динамики накладываются другие, прежде всего случайные, иногда сезонные влияния. Выявление основной тенденции в изменении уровней, именуемой трендом, является одной из главных задач анализа рядов динамики.

Целью работы является анализ сущности, понятия, классификации видов и роли рядов динамики при анализе социально-экономических процессов. Объект работы – ряды динамики в статистической науке. Предмет работы – понятие, виды и роль рядов динамики.

Цель и задачи работы обусловили постановку следующих целей:

1)    проанализировать понятие и сущность рядов динамики;

2)    определить виды рядов динамики;

3)    Охарактеризовать основные методы выделения трендов и циклов.

Структура работы. Данная работа состоит из введения, трех параграфов, заключения, списка литературы.

1. Понятие и сущность рядов динамики

 

Одной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, т.е. их динамика. Эта задача решается с помощью анализа рядов динамики (или временных рядов). Ряд динамики (или динамический ряд) представляет собой ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, характеризующих изменение общественных явлений во времени.

В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: время t и конкретное значение показателя (уровень ряда) у. Уровни ряда - это показатели, числовые значения которых составляют динамический ряд. Время - это моменты или периоды, к которым относятся уровни.

Построение и анализ рядов динамики позволяют выявить и измерить закономерности развития общественных явлений во времени. Эти закономерности не проявляются четко на каждом конкретном уровне, а лишь в тенденции, в достаточно длительной динамике. На основную закономерность динамики накладываются другие, прежде всего случайные, иногда сезонные влияния. Выявление основной тенденции в изменении уровней, именуемой трендом, является одной из главных задач анализа рядов динамики [3, c. 98].

По времени, отраженному в динамических рядах, они разделяются на моментные и интервальные.

Моментным называется ряд динамики, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные даты (моменты времени). Примером моментного ряда могут служить следующие данные о численности населения.

Таблица 1

Численность постоянного населения (на конец года), млн. человек:

1970 г. 1980 г. 1990 г. 1991 г . 1993 г. 1994 г. 1995 г.
130,6 138,8 148,2 147,6 148,3 148,0 147,9

Этот ряд характеризует динамику численности населения России в 1970 - 1995 гг. Поскольку в каждом последующем уровне содержится полностью или частично значение предыдущего уровня, суммировать уровни моментного ряда не следует, т.к. это приводит к повторному счету.

Интервальным (периодическим) рядом динамики называется такой ряд, уровни которого характеризуют размер явления за конкретный период времени (год, квартал, месяц). Примером такого ряда могут служить данные о динамике добычи нефти в Российской Федерации.

Таблица 2

Добыча нефти в Российской Федерации, млн. тонн:

1985 г. 1990 г. 1995 г. 2000 г. 2005 г. 2010 г.
516 462 399 354 318 307

 

Этот ряд характеризует снижение уровня добычи нефти в России.

Значения уровней интервального ряда, в отличие от уровней моментного ряда, не содержатся в предыдущих или последующих показателях, их можно просуммировать, что позволяет получать ряды динамики более укрупненных периодов. Например, суммирование уровней добычи нефти за каждый год по данным, приведенным выше, позволяет определить ее добычу за все 6 лет в целом и в среднем за год [5, c. 114].

Интервальный ряд, где последовательные уровни могут суммироваться, можно представить как ряд с нарастающими итогами. При построении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней. Этим достигается суммарное обобщение результата развития изучаемого явления с начала отчетного периода (месяца, квартала, года и т.д.).

Уровни в динамическом ряду могут быть представлены абсолютными, средними или относительными величинами. Так, в рассмотренных рядах динамика уровней выражена абсолютными статистическими величинами. Средними величинами могут выражаться уровни, характеризующие динамику средней реальной заработной платы в промышленности, динамику урожайности зерновых культур (ц/га). Относительными величинами характеризуется, например, динамика доли городского и сельского населения (%) и уровня безработицы.

По расстоянию между уровнями ряды динамики подразделяются на ряды с равностоящими и неравностоящими уровнями по времени. Например, ранее приведенные данные о добыче нефти в Российской Федерации за 1990-1995 гг. представляют собой ряд динамики с равностоящими уровнями (объемы добычи нефти представлены через равные, следующие друг за другом интервалы времени). Если в рядах динамики прерывающиеся или неравномерные интервалы времени, то такие ряды являются неравностоящими [8, c. 221].

Ряды динамики могут быть изображены графически. Графическое изображение позволяет наглядно представить развитие явления во времени и способствует проведению анализа уровней. Наиболее распространенным видом графического изображения для аналитических целей является линейная диаграмма, которая строится в прямоугольной системе координат: на оси абсцисс отмечается время, а на оси ординат - уровни ряда.

Наряду с линейной диаграммой, для графического изображения рядов динамики в целях популяризации широко используются столбиковая диаграмма, секторная диаграмма и другие виды диаграмм (фигурные, квадратные, полосовые и т.п.).

Важнейшим условием правильного построения ряда динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней.

Причинами несопоставимости уровней являются:

-       изменение единиц измерения или единиц счета;

-       использование различной методологии учета или расчета показателей;

-       изменение территориальных границ, областей, районов и т.п.

Для приведения уровней ряда к сопоставимому виду используется прием, называемый смыканием рядов динамики.

Под смыканием ряда динамики понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам.

Для осуществления смыкания рядов необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разным методикам (или в разных границах).

Последовательность смыкания ряда.

-       Для периода 1994 г. по новой и старой методикам находим отношения числовых параметров ряда: 22,8 / 21,2 =1,1.

-       Умножая на полученный коэффициент данные за 1991-1993 гг., полученные по старой методике, приводим к сопоставимому виду (осуществляем смыкание рядов).

-       Система показателей изменения уровней ряда динамики.

При формировании системы показателей изменения уровней ряда динамики принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым производят сравнение, - базисным.

К основным показателям изменения уровней ряда динамики относятся следующие.

Абсолютный прирост ( Δ у ) - характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Физически он означает абсолютную скорость роста (снижения) процесса (явления):

Δ у = Yi - Yi - k ,

где i = 1, 2, 3 ... n.

Если k = 1, то уровень yi - 1 является предыдущим для данного ряда, а абсолютные приросты изменения будут цепными.

Если k постоянно для данного ряда, то абсолютные приросты будут базисными.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше (меньше) базисного уровня за некоторый промежуток времени.

В качестве базисного уровня в зависимости от цели исследования может приниматься какой-либо постоянный для всех уровень (часто начальный уровень ряда) либо для каждого последующего предшествующий ему.

 

В первом случае говорят о базисных темпах роста, во втором - о цепных темпах роста.

Темп роста - показатель, получаемый умножением коэффициента роста на 100%.

Темп прироста - показатель, характеризующий относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени. Физически темп прироста показывает, на какую долю (или процент) уровень данного периода или момента времени больше (или меньше) базисного уровня. Он представляет собой отношение абсолютного прироста к уровню ряда, принятого за базу:

Средний уровень ряда динамики ().

Для интервальных рядов с равностоящими уровнями средний уровень находится по формуле средней арифметической простой, а для неравноотстоящих уровней - по средней арифметической средневзвешенной:

 

 

где yi - уровень ряда динамики;

n - число уровней;

ti - длительность интервала времени между уровнями.

Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находиться под влиянием факторов разного, как правило случайного, воздействия.

Влияние эволюционного характера - это изменения, определяющие общее направление развития, как бы длительную эволюцию, которая пробивает себе дорогу через другие систематические и случайные колебания. Такие изменения динамического ряда называются основной тенденцией развития, или трендом.

Влияние периодического характера - это циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания.

Циклические колебания можно представить в виде синусоиды y = sint.

Циклические колебания в экономических расчетах примерно соответствуют так называемым циклам конъюнктуры.

Сезонные колебания - это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каждого года, дня месяца или часа дня. Эти изменения отчетливо наблюдаются на графиках многих рядов динамики, содержащих данные за период не менее одного года.

В рядах динамики могут наблюдаться также и случайные колебания, являющиеся результатом действия большого количества относительно слабых (или разнонаправленных) второстепенных факторов.

В общем случае в ряду динамики можно выделить его четыре основные компоненты:

1) основная тенденция (тренд) (Т);

2) циклическая или конъюнктурная (К);

3) сезонная (S);

4) случайные колебания (E).

Если ряд динамики разбить на различные компоненты, то функция, его описывающая, будет иметь вид:

Y = f (T, K, S, E).

В зависимости от взаимосвязи компонентов между собой может быть построена аддитивная или мультипликативная модель ряда.

Аддитивная модель ряда динамики имеет вид:

Y = T + K + S + E (10.6)

и характеризуется тем, что циклические и сезонные колебания остаются постоянными.

Мультипликативная модель ряда имеет вид:

Y = T × K × S × E.

В этой модели характер циклических и сезонных колебаний остается постоянным только по отношению к тренду.

 

2. Классификация рядов динамики

 

Ряды динамики представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенного в хронологическом порядке.

Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (даты) времени.

Уровни ряда обычно обозначаются через Y, периоды времени или моменты - через t.

Классификация рядов динамики производится по следующим признакам.

-       В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин.

-       В зависимости от того, как выражаются уровни ряда на определенные моменты времени (на начало месяца, квартала, года и т.п.) или его величина на определенные интервалы времени (например, за сутки, месяц, год и т.п.), различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики.

-       Особенность интервального ряда состоит в том, что его уровни характеризуют собой суммарный итог какого либо явления за определенный отрезок времени. Они зависят от продолжительности этого периода времени, их можно суммировать, как не содержащие повторного счета.

-       Особенность моментного ряда состоит в том, что его уровни, как правило, содержат элементы повторного счета, например, число вкладов населения, учитываемых за январь, существует и в настоящее время, являясь единицами совокупности в июне. В результате чего суммировать уровни ряда нецелесообразно.

-       В зависимости от расстояния между уровнями ряды динамики подразделяются на ряды динамики с равностоящими и неравностоящими уровнями во времени.

-       В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса ряды динамики подразделяются на стационарные и нестационарные.

-       Если математическое ожидание значения признака и дисперсия постоянны, не зависят от времени, процесс считается стационарным и ряды динамики также называются стационарными. Экономические и социальные процессы во времени обычно не являются стационарными, т.к. содержат основную тенденцию развития, но их можно преобразовать в стационарные путем исключения тенденций.

 

 

 

3. Методы выделения тренда и циклов

 

В социально-экономических рядах динамики можно наблюдать:

-       основную тенденцию развития (осредненную компоненту динамики);

-       закономерность изменения отклонений фактических уровней от тренда;

-       автокорреляционные зависимости.

Основная тенденция развития аналитически выражается с помощью математической функции, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. В данном случае значения тренда в отдельные моменты времени будут являться математическими ожиданиями (средними значениями) ряда динамики. Часто основную тенденцию развития называют квазидетерминированной (осредненной) составляющей ряда динамики.

Автокорреляционные зависимости представляют собой тенденцию вариации связи между отдельными уровнями ряда динамики (зависимость текущего значения уровней ряда от предыдущих) [10, c. 154].

Начальным этапом выделения и анализа тренда является проверка гипотезы о существовании тренда.

Существует около десятка критериев проверки наличия тренда. Рассмотрим некоторые из них.

Проверка существенности разности средних. Ряд динамики разбивается на две равные или почти равные части. Проверяется гипотеза о существовании разности средних: .

Поскольку число членов анализируемого ряда, как правило, мало, то для проверки гипотезы воспользуемся теорией малой выборки. За основу проверки берется tα-критерий Стьюдента. При t ≥ tα гипотеза об отсутствии тренда отвергается, и наоборот, при t меньше или равном tα гипотеза (H0) принимается. Здесь t - расчетное значение, найденное для анализируемых данных. tα - табличное значение критерия при уровне вероятности ошибки, равном α.

В случае равенства или при несущественном различии дисперсий двух исследуемых совокупностей () определение расчетного значения t производится по формуле:

 

где и - средние для первой и второй половин ряда динамики;

n1 и n2 - число наблюдений в этих рядах;

σ - среднеквадратическое отклонение разности средних, определяемое по формуле:

 

Дисперсии для первой и второй частей ряда рассчитываются по формуле:

 

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий осуществляется с помощью F-критерия, основанного на сравнении расчетного отношения с табличным. Расчетное значение критерия определяется по формуле:

.

Если расчетное значение F меньше табличного при заданном уровне значимости, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается. Если F больше, чем табличное значение, то гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и зависимость для расчета t не пригодна для использования.

При выполнении условия о равенстве дисперсий определяется значение tα и проверяется гипотеза (H0 ). При этом теоретическое значение tα определяется с числом степеней свободы, равным n1 + n2 - 2.

Рассмотренный метод дает положительные результаты для рядов с монотонной тенденцией. Когда же ряд динамики меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции оказывается близкой к середине ряда. Поэтому средние двух отрезков будут близки, а проверка может не показать наличия тенденции.

Метод Фостера-Стюарта. Второй метод проверки наличия тенденции называется методом Фостера-Стюарта, который, помимо определения наличия тенденции, позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании экономических явлений.

После установления наличия тенденции в ряду динамики производится ее описание с помощью методов сглаживания. К этим методам относятся следующие.

Метод усреднения по левой и правой половине. Разделяют ряд динамики на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.

Метод простой скользящей средней. Заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего, и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы скользят по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.

Метод взвешенной скользящей средней. Основное отличие от предыдущего метода состоит в том, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами, т.к. аппроксимация в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием уровней, рассчитанных по полиному n-го порядка:

,

где i - порядковый номер уровня интервала сглаживания.

Для отображения основной тенденции развития социально-экономических явлений применяются полиномы различной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

Полином первой степени

;

Полином второй степени

;

Полином третьей степени

;

Полином n-степени

.

В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамического ряда. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны; полиномы второй степени - для отражения ряда с постоянными вторыми разностями (ускорениями); полиномы третьей степени - с постоянными третьими разностями и т.д.

Сезонные колебания в ряду динамики характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности (IS ).

Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.

Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно используют данные за несколько лет (не менее трех), распределенные по месяцам.

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за 3 года (), затем из них вычисляется средний уровень для всего ряда (), далее определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда:

.

В случае, если ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то, прежде чем приступить к вычислению сезонной волны, необходимо обработать фактические данные таким образом, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого применяется аналитический способ выравнивания ряда.

Подобно сезонной компоненте, в ряду динамики может также присутствовать циклическая компонента, представляющая собой волнообразное движение, но более продолжительная и менее предсказуемая, чем сезонная компонента. Сущность классического метода устранения циклической компоненты заключается в исключении (или усреднении) основной тенденции и сезонной компоненты из ряда динамики, тогда в ряду останется циклическая компонента.

Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, т.е. прогноз основан на экстраполяции.

Теоретической основой распространения тенденций на будущее является концепция инерционности социально-экономических явлений.

Экстраполяцию следует рассматривать как начальную стадию построения окончательных прогнозов.

Чем шире раздвигаются временные рамки прогнозирования, тем очевиднее становится недостаточность простого экстраполяционного метода (изменения тенденций, неопределенность точек поворота кривых, появление новых факторов и т.д.). Поскольку анализируемые социально-экономические ряды динамики нередко относительно короткие, то горизонт экстраполяции должен быть краткосрочным. Поэтому, чем короче срок экстраполяции (период упреждения), тем более надежные и точные результаты (при прочих равных условиях) дает прогноз.

Экстраполяцию в общем виде можно представить зависимостью:

 

где - прогнозируемый уровень;

yi - текущий уровень прогнозируемого ряда;

Т - период упреждения;

aj - параметр уравнения тренда.

В зависимости от того, какие принципы и исходные данные положены в основу прогноза, выделяются следующие простейшие методы экстраполяции:

среднего абсолютного прироста;

среднего темпа роста;

на основе выравнивания рядов по какой-либо аналитической формуле.

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту применяется в том случае, когда есть основания считать абсолютную тенденцию линейной, т.е. метод основан на предположении о равномерном стабильном изменении уровня. В данном случае экстраполяция осуществляется по зависимости:

 

где - экстраполируемый уровень;

(i + t) - номер этого уровня (года);

i - номер последнего уровня (года) исследуемого периода, за который рассчитан ;

t - срок прогноза (период упреждения);

- средний абсолютный прирост.

Следует иметь в виду! Использование среднего абсолютного прироста для прогноза возможно только при выполнении следующего условия:

,

где

 

Прогнозирование по среднему темпу роста осуществляется в случае, когда установлено, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения тенденции необходимо определить средний коэффициент роста, возведенный в степень, соответствующую периоду экстраполяции:

 

где yi - последний уровень ряда динамики;

t - срок прогноза;

- средний коэффициент роста.

Рассмотренные выше способы экстраполяции являются весьма приближенными.

Наиболее распространенным методом прогнозирования является метод аналитического выравнивания тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода продолжают значения независимой переменной времени (t) в правой части формулы аналитического выравнивания.

В целом ошибки экстраполяции можно объяснить следующими причинами.

Выбранная для прогнозирования кривая не является единственной, всегда можно подобрать кривую, которая более точно описывает рассматриваемое явление.

Построение прогноза всегда осуществляется на базе ограниченного объема исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой. Поэтому и кривая, по которой осуществляется прогноз, также будет содержать случайную компоненту.

Установленная тенденция характеризует лишь движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения от него отклоняются. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и будущем.

Исходя из вышеперечисленного, для утверждения о достоверности прогноза необходимо построение доверительных интервалов.

Величина доверительного интервала определяется по формуле:

 

где - расчетное значение уровня;

tα - доверительная величина;

- средняя квадратическая ошибка тренда.

При анализе рядов динамики иногда приходится прибегать к определению некоторых неизвестных уровней внутри данного ряда динамики, т.е. к интерполяции.

Как экстраполяция, так и интерполяция могут проводиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и с помощью аналитического выравнивания.

Заключение

 

Итак, ряд динамики (или динамический ряд) представляет собой ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, характеризующих изменение общественных явлений во времени.

Ряды динамики представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенного в хронологическом порядке. Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (даты) времени.

Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находиться под влиянием факторов разного, как правило случайного, воздействия. Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, т.е. прогноз основан на экстраполяции.

Теоретической основой распространения тенденций на будущее является концепция инерционности социально-экономических явлений.

Список литературы

 

  1. Башина, О.Э. Общая теория статистики / О.Э. Башина. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 456с.
  2. Григорьева, Р.П. Статистика / Р.П. Григорьева. – М.: Изд-во Михайлова, 2009. – 510с.
  3. Гусынин, А.Б. Статистика / А.Б. Гусынин. – М.: Норма, 2010. – 452с.
  4. Гусаров, В.М. Статистика / В.М. Гусаров. – М.: Дашков и ко, 2010. – 662с.
  5. Елисеева И.И. Общая теория статистики / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 338с.
  6. Золотарев, А.А.Статистика / А.А. Золотарев. – М.: Владос, 2009. – 446с.
  7. Калинин, В.А. Макроэкономическая статистика / В.А. Калинин. – М.: Дело, 2010. – 602с.
  8. Сиденко, А.В. Статистика / А.В. Сиденко. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 500с.
  9. Статистика. Курс лекций. / Под ред. Л.П. Харченко, В.Г. Ионин и др. Новосибирск, НГАЭиУ, 2007. – 384с.
  10. Теория статистики / Под ред. Р.А.Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 580с.
  11. Ячиков, Р.А. Теория статистики / Р.А. Ячиков. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 398с.
(34.2 KiB, 44 downloads)

© Размещение материала на других электронных ресурсах только в сопровождении активной ссылки

Вы можете заказать оригинальную авторскую работу на эту и любую другую тему.

Контрольные работы в Магнитогорске, контрольную работу купить, курсовые работы по праву, купить курсовую работу по праву, курсовые работы в РАНХиГС, курсовые работы по праву в РАНХиГС, дипломные работы по праву в Магнитогорске, дипломы по праву в МИЭП, дипломы и курсовые работы в ВГУ, контрольные работы в СГА, магистерские диссертации по праву в Челгу.

Здесь вы можете написать комментарий

* Обязательные для заполнения поля
Все отзывы проходят модерацию.
Навигация
Связаться с нами
Наши контакты

vadimmax1976@mail.ru

8-908-07-32-118

8-902-89-18-220

О сайте

Magref.ru - один из немногих образовательных сайтов рунета, поставивший перед собой цель не только продавать, но делиться информацией. Мы готовы к активному сотрудничеству!